En la escuela básica nos enseñaron los principios más relevantes de la geometría euclídea en la forma del famoso teorema de Pitágoras, ver figura lateral. De él emana el importante concepto de métrica, entendido éste como la distancia que existe entre dos puntos alejados. Así, es sabido por todos, que en el espacio físico más cercano que nos rodea y que sentimos como tridimensional basta con considerar que dado un sistema cartesiano de coordenadas, digamos (x,y,z), la distancia entre dos puntos cualesquiera (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) se corresponde con el cálculo que se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras.distancia d = Raíz((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
La geometría de esta forma definida es la que usamos en nuestra vida diaria para construir los puentes y carreteras que transitamos, los edificios en los que vivimos y todas las obras de ingenieria, sean estas objetos mecánicos, obras civiles o de cualquier otro tipo. Incluso el cálculo de la longitud de una curva en una carretera obedece el teorema de Pitágoras, veámos esto con mayor detalle analizando la figura que sigue:
Se define la curva F(X) en el plano cartesiano que asigna un valor a Y para cada valor de X, se trocea la curva en partes muy pequeñas, infinitesimales, de tal modo que el pequeño trozo de curva definida por el elemento infinitesimal dx coincide con la hipotenusa recta del triángulo rectángulo formado por dx y dy. Se calcula la longitud de esa hipotenusa dando dL = Raíz(dx^2 + dy^2), sumando todos los trozos desde la coordenada x = a hasta x = b y teniendo en cuenta el símbolo matemático de suma diferencial conocido como integral, resulta como longitud de la curva desde x=a a x=b:
L [a,b] = Integral[a,b] (Raíz(dx^2 + dy^2))
Si ahora consideramos que dy = f(x+dx) - f(x) y que la tangente del ángulo agudo formado por la hipotenusa y el elmento dx del pequeño triángulo rectángulo formado por los diferenciales dx y dy es la derivada de la curva f(x) en la coordenada x, f´(x), resulta dy = f´(x)dx con lo que:
L [a,b] = Integral[a,b] (Raíz(dx^2 + f´(x)dx^2 ) = Integral[a,b] (Raíz(1+f´(x)^2)dx)
Estos resultados forman la base sobre la que se sustenta el cálculo integral, el cual obviamente puede llegar a ser muy complejo en aplicaciones reales; la base sin embargo no se ve alterada a medida que se crece en dificultad, siendo el teorema de Pitágoras y el concepto de métrica que éste introduce el fundamento de las matemáticas cotidianas que el hombre viene aplicando desde la época Helena y probablemente mucho antes, basta con observar la pirámide de Keops (siglo XXV a.C.) o las pirámides Mayas (siglos X a V a.C.) para deducir que el hombre ya aplicaba en sus obras de ingeniería civil los conceptos matemáticos griegos. Pitágoras de Samos nació hacía el año 580 a.C.
La métrica euclídea sin embargo, y en contra de nuestra más inmediata razón, no es válida cuando estamos trabajando en física relativística, sea ésta la relatividad general dedicada a la gravedad o la relatividad especial dedicada a la fuerza electromagnética. La teoría relativística de Einstein precisa de un espacio matemático más avanzado en la que desarrollarse. Estos espacios matemáticos tienen métricas que no son Pitagorianas y dicense de Riemman o pseudoRiemman, dependiendo de si se permite que el elemento diferencial cuádrico, dL^2, o en nomenclatura más convencional ds^2 o intervalo, pueda ser cero o menor que cero, caso que se define como pseudoRiemman. La métrica sólo se dice de Riemman si el intervalo es mayor que cero. De forma general se define el intervalo Riemmaniano para un sistema coordenado en dos dimensiones como ds^2 = gxxdxdx + gxydxdy + gyxdydx + gyydydy donde los coeficientes gij son los coeficientes de peso en la métrica. La extensión a tres y cuatro dimensiones es inmediata. Además, dado un espacio que sigue la métrica de Riemman se puede demostrar que siempre existirá un sistema coordenado en el que los pesos gij cuando i es distinto de j son cero. En un lenguaje más técnico se dice que el tensor métrico es diagonal.
Para el caso que nos ocupa, donde la métrica usada por las teorías de la relatividad especial y general son psuedoRiemman se define el intervalo como ds^2 = cdt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 donde c es la velocidad de propagación de la luz que es constante cuando se mide desde un sistema inercial, y cuyo valor no se ve afectado por el movimiento relativo de este sistema con respecto a otro, veamos esto con mayor detalle pues es relevante. Supongamos que vamos en un barco con 110 metros de eslora y nos alejamos de la costa a una velocidad de 10 nudos, de repente un pasajero comienza a caminar por la borda a 0,5 nudos con respecto al barco, obviamente desde la perspectiva de un viandante situado en la costa el pasajero se aleja de la misma a una velocidad de 10,5 nudos, es lo que el sentido común dicta y lo que se conoce en física como ley de la relatividad de Galileo. Encendamos ahora un farolillo en la popa del barco, el haz de luz se desplaza hacía la proa a la velocidad de la luz, c = 300000 kilómetros por segundo, y así es medido por un pasajero a bordo del barco, la pregunta ahora es ¿cuál es la velocidad que medirá nuestro observador terrestre para ese haz de luz? ¿seguirá la ley de Galileo y en consecuencia se obtendrá c + 10 nudos? La respuesta es no, la velocidad medida será c y es por esto que la métrica euclídea no sirve para describir los procesos físicos en los que intervenienen magnitudes comparables con c. Se ve preciso definir un nuevo espacio matemático de cuatro dimensiones en el que a las coordenadas tradicionales x,y,z se une ct, el tiempo del cronómetro multiplicado por la velocidad de la luz. Es en este espacio matemático donde se pueden construir formulaciones físicas consistentes con el principio de relatividad aquí descrito y enunciado por Albert Einstein a comienzos del siglo pasado.
Cómo se puede observar existe una gran diferencia entre la métrica definida en un espacio euclídeo y la métrica pseudoRiemmaniana del espacio de Mikonski presentada, además, se hace patente que la velocidad de propagación de la luz juega un rol muy destacado en la definición de la geometría. Cabe destacar que cuando ds^2 es igual a cero estamos hablando de eventos a la velocidad de luz, es decir, el segmento rectilíneo de espacio euclídeo coincide exactamente con el espacio que recorrería un haz de luz en el tiempo medido dt. Cuando ds^2 > cero estamos ante eventos que suceden a velocidades menores que la luz, el segmento rectilíneo euclídeo es menor que el espacio que recorrería la luz en el intervalo de tiempo medido dt. El otro caso, ds^2 menor que cero se corresponde con eventos fuera del llamado "cono de luz" y en principio prohibidos por la relatividad, son eventos para los que la magnitud cdt^2 es menor que el segmento euclídeo recorrido, eventos que podrían propagarse a una velocidad mayor que la de la luz. Pensemos en la teoría de Newton y supongamos que el sol incrementa su masa repentinamente, con la teoría gravitatoria de Newton el evento sería inmediatamente sentido en la tierra, lo que viola la teoría de Einstein, el efecto gravitatorio debería tardar en sentirse al menos 500 segundos, los que tarda la luz en recorrer los 150 millones de kilómetros que separan la tierra del sol (una unidad astronómica).
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