Gravedad, la fuerza del universo II. Pitágoras y Riemman

En la escuela básica nos enseñaron los principios más relevantes de la geometría euclídea en la forma del famoso teorema de Pitágoras, ver figura lateral. De él emana el importante concepto de métrica, entendido éste como la distancia que existe entre dos puntos alejados. Así, es sabido por todos, que en el espacio físico más cercano que nos rodea y que sentimos como tridimensional basta con considerar que dado un sistema cartesiano de coordenadas, digamos (x,y,z), la distancia entre dos puntos cualesquiera (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) se corresponde con el cálculo que se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras.

distancia d = Raíz((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)

La geometría de esta forma definida es la que usamos en nuestra vida diaria para construir los puentes y carreteras que transitamos, los edificios en los que vivimos y todas las obras de ingenieria, sean estas objetos mecánicos, obras civiles o de cualquier otro tipo. Incluso el cálculo de la longitud de una curva en una carretera obedece el teorema de Pitágoras, veámos esto con mayor detalle analizando la figura que sigue:

Se define la curva F(X) en el plano cartesiano que asigna un valor a Y para cada valor de X, se trocea la curva en partes muy pequeñas, infinitesimales, de tal modo que el pequeño trozo de curva definida por el elemento infinitesimal dx coincide con la hipotenusa recta del triángulo rectángulo formado por dx y dy. Se calcula la longitud de esa hipotenusa dando dL = Raíz(dx^2 + dy^2), sumando todos los trozos desde la coordenada x = a hasta x = b y teniendo en cuenta el símbolo matemático de suma diferencial conocido como integral, resulta como longitud de la curva desde x=a a x=b:

L [a,b] = Integral[a,b] (Raíz(dx^2 + dy^2))

Si ahora consideramos que dy = f(x+dx) - f(x) y que la tangente del ángulo agudo formado por la hipotenusa y el elmento dx del pequeño triángulo rectángulo formado por los diferenciales dx y dy es la derivada de la curva f(x) en la coordenada x, f´(x), resulta dy = f´(x)dx con lo que:

L [a,b] = Integral[a,b] (Raíz(dx^2 + f´(x)dx^2 ) = Integral[a,b] (Raíz(1+f´(x)^2)dx)

Estos resultados forman la base sobre la que se sustenta el cálculo integral, el cual obviamente puede llegar a ser muy complejo en aplicaciones reales; la base sin embargo no se ve alterada a medida que se crece en dificultad, siendo el teorema de Pitágoras y el concepto de métrica que éste introduce el fundamento de las matemáticas cotidianas que el hombre viene aplicando desde la época Helena y probablemente mucho antes, basta con observar la pirámide de Keops (siglo XXV a.C.) o las pirámides Mayas (siglos X a V a.C.) para deducir que el hombre ya aplicaba en sus obras de ingeniería civil los conceptos matemáticos griegos. Pitágoras de Samos nació hacía el año 580 a.C.

La métrica euclídea sin embargo, y en contra de nuestra más inmediata razón, no es válida cuando estamos trabajando en física relativística, sea ésta la relatividad general dedicada a la gravedad o la relatividad especial dedicada a la fuerza electromagnética. La teoría relativística de Einstein precisa de un espacio matemático más avanzado en la que desarrollarse. Estos espacios matemáticos tienen métricas que no son Pitagorianas y dicense de Riemman o pseudoRiemman, dependiendo de si se permite que el elemento diferencial cuádrico, dL^2, o en nomenclatura más convencional ds^2 o intervalo, pueda ser cero o menor que cero, caso que se define como pseudoRiemman. La métrica sólo se dice de Riemman si el intervalo es mayor que cero. De forma general se define el intervalo Riemmaniano para un sistema coordenado en dos dimensiones como ds^2 = gxxdxdx + gxydxdy + gyxdydx + gyydydy donde los coeficientes gij son los coeficientes de peso en la métrica. La extensión a tres y cuatro dimensiones es inmediata. Además, dado un espacio que sigue la métrica de Riemman se puede demostrar que siempre existirá un sistema coordenado en el que los pesos gij cuando i es distinto de j son cero. En un lenguaje más técnico se dice que el tensor métrico es diagonal.

Para el caso que nos ocupa, donde la métrica usada por las teorías de la relatividad especial y general son psuedoRiemman se define el intervalo como ds^2 = cdt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 donde c es la velocidad de propagación de la luz que es constante cuando se mide desde un sistema inercial, y cuyo valor no se ve afectado por el movimiento relativo de este sistema con respecto a otro, veamos esto con mayor detalle pues es relevante. Supongamos que vamos en un barco con 110 metros de eslora y nos alejamos de la costa a una velocidad de 10 nudos, de repente un pasajero comienza a caminar por la borda a 0,5 nudos con respecto al barco, obviamente desde la perspectiva de un viandante situado en la costa el pasajero se aleja de la misma a una velocidad de 10,5 nudos, es lo que el sentido común dicta y lo que se conoce en física como ley de la relatividad de Galileo. Encendamos ahora un farolillo en la popa del barco, el haz de luz se desplaza hacía la proa a la velocidad de la luz, c = 300000 kilómetros por segundo, y así es medido por un pasajero a bordo del barco, la pregunta ahora es ¿cuál es la velocidad que medirá nuestro observador terrestre para ese haz de luz? ¿seguirá la ley de Galileo y en consecuencia se obtendrá c + 10 nudos? La respuesta es no, la velocidad medida será c y es por esto que la métrica euclídea no sirve para describir los procesos físicos en los que intervenienen magnitudes comparables con c. Se ve preciso definir un nuevo espacio matemático de cuatro dimensiones en el que a las coordenadas tradicionales x,y,z se une ct, el tiempo del cronómetro multiplicado por la velocidad de la luz. Es en este espacio matemático donde se pueden construir formulaciones físicas consistentes con el principio de relatividad aquí descrito y enunciado por Albert Einstein a comienzos del siglo pasado.

Cómo se puede observar existe una gran diferencia entre la métrica definida en un espacio euclídeo y la métrica pseudoRiemmaniana del espacio de Mikonski presentada, además, se hace patente que la velocidad de propagación de la luz juega un rol muy destacado en la definición de la geometría. Cabe destacar que cuando ds^2 es igual a cero estamos hablando de eventos a la velocidad de luz, es decir, el segmento rectilíneo de espacio euclídeo coincide exactamente con el espacio que recorrería un haz de luz en el tiempo medido dt. Cuando ds^2 > cero estamos ante eventos que suceden a velocidades menores que la luz, el segmento rectilíneo euclídeo es menor que el espacio que recorrería la luz en el intervalo de tiempo medido dt. El otro caso, ds^2 menor que cero se corresponde con eventos fuera del llamado "cono de luz" y en principio prohibidos por la relatividad, son eventos para los que la magnitud cdt^2 es menor que el segmento euclídeo recorrido, eventos que podrían propagarse a una velocidad mayor que la de la luz. Pensemos en la teoría de Newton y supongamos que el sol incrementa su masa repentinamente, con la teoría gravitatoria de Newton el evento sería inmediatamente sentido en la tierra, lo que viola la teoría de Einstein, el efecto gravitatorio debería tardar en sentirse al menos 500 segundos, los que tarda la luz en recorrer los 150 millones de kilómetros que separan la tierra del sol (una unidad astronómica).

Cielo en Enero

En el hemisferio norte y desde la latitud de España, se observa hacía las diez de la noche en los comienzos del mes de Enero la constelación de Tauro, Auriga y Perseo hacía la máxima altura del cielo, destacan en Tauro la estrella Aldebaran y las pleyades (palomas) en la imagen, en Auriga destacan los cúmulos abiertos M36, M37 y M38. En Perseo el cúmulo abierto M34. Tauro se va desplazando a medida que avanza el mes hacía el Oeste alzándose Géminis. Mirando hacía el sur destaca Orión que se desplaza a lo largo del mes de una posición sureste a suroeste, la nébula de Orión M42 en la espada de Orión, la nébula M78 un poco más arriba del cinturón y la estrella Betelgeuse son puntos relevantes de observación, también Canis Mayor y la estrella Sirius. Al este destaca Marte entre Leo y Cáncer, visible a simple vista con su típico color rojizo. Leo y Cáncer igualmente desplazándose al Oeste con el avance del mes. Al Norte se observan las constelaciones circunpolares, Osa Mayor, Menor, Draco, Jirafa, Cefeos y Casiopea en deriva hacía el Oeste, Noroeste con el avance del mes. Hacía el Oeste se va escondiendo Piscis y se observa Andrómeda con las galaxias M31 y M110 como puntos relevantes de observación.

Gravedad, la fuerza del universo I. Introducción

De las cuatro fuerzas conocidas en la naturaleza: electromagnética, nuclear débil, nuclear fuerte y gravitatoria, la gravedad es sin duda alguna la más desconocida e intrigante. El gran interés de la humanidad por conocer el universo, por tratar de comprender el fondo y la forma del mundo que nos rodea han posicionado, desde siempre, a la astronomía en el centro propio del saber del hombre, en el núcleo del conocimiento científico. ¿Y qué rol juega la fuerza de la gravedad dentro del estudio del universo? Digamos que todo. La fuerza de la gravedad es el corazón del cosmos, es la fuerza que mantiene los cuerpos celestes en sus perpetuos movimientos, la que configura el universo a nivel planetario, estelar y galáctico tal y como lo observamos desde la tierra.

En la antigüedad reducido a un grupo de privilegiados, hoy día, con el avance tecnológico actual y el bajo coste del equipamiento óptico de calidad, es asequible, a cualquier persona aficionada a la ciencia, adentrarse en el mundo de la observación espacial aunque se esté alejado de los grandes programas multimillonarios de exploración del universo; conviene recordar que los primeros trabajos teóricos que desarrollaron una formulación matemática asociada al movimiento planetario fueron los de Johannes Kepler, 1571-1630, quien supo extraer de las precisas tablas de posición planetaria recopiladas a “ojo desnudo” por Tycho Brahe, 1546-1601, sus hoy famosas leyes. Los trabajos de Kepler fueron la base para la primera formulación matemática de una teoría gravitatoria, la del físico inglés Isaac Newton, 1643-1727, y se obtuvieron probablemente en peores condiciones de las que gozan hoy miles de astrónomos amateur.

La teoría gravitatoria de Newton establece que dos cuerpos celestes se atraen mutuamente por una fuerza que es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Aplicado al caso del movimiento Luna-Tierra, la fuerza gravitatoria de atracción entre estos dos cuerpos celestes sería F = GMTierraMLuna/(DistanciaTierra-Luna)^2 , la que haría que ambos colapsaran a no ser por el movimiento de rotación lunar que la contrarresta, piénsese en la fuerza centrífuga que todos experimentamos cuando vamos en un vehículo que gira violentamente en una curva, todos hemos sentido alguna vez este fenómeno que tiende a expulsarnos del vehículo, esta fuerza centrífuga causada por el movimiento rotario hace que la luna no se precipite sobre la propia tierra al contrarrestar la gravedad. El mismo principio aplica a cualquier satélite espacial, una vez el lanzamiento del cohete ha alcanzado la altura necesaria y los motores de movimiento lateral han dado suficiente velocidad translacional a la cápsula, el satélite se libera quedando en movimiento de giro perpetúo, la ausencia de rozamiento en la estratosfera debido a la ultra baja presión del espacio exterior hace que el satélite mantenga su movimiento inercial sin sentirse frenado. Pensemos en lo que cuesta frenar cuando nos deslizamos por una pista de hielo una vez alcanzada una cierta velocidad. El hielo, con un bajo coeficiente de rozamiento hace que la perdida de velocidad sea muy atenuada, no obstante, con el tiempo paramos, en el espacio exterior no paramos, no hay rozamiento, una vez alcanzada una cierta velocidad y apagados los motores de la cápsula espacial la nave se desplazará por el universo a velocidad constante. Es esto lo que le ocurre a la Luna, se mueve alrededor de la tierra sin resistencia, contrarrestando la fuerza centrífuga repulsiva originada por el movimiento de rotación, a la fuerza gravitatoria de atracción.

La teoría gravitatoria de Newton perduró por dos siglos, siendo aún hoy la base físico matemática sobre la que se apoya la formación que reciben miles de ingenieros y físicos en todo el mundo. No obstante, de cara al conocimiento profundo de la mecánica celeste la teoría es incompleta al no poder explicar ni fenómenos estelares observables con instrumentos modernos, ni principios físicos básicos como la velocidad de propagación de la perturbación gravitatoria. Pongamos como ejemplo el simple fenómeno de encender una bombilla en la oscuridad, cuando hacemos esto, y a pesar de que el ojo humano percibe que el fenómeno es instantáneo por rápido, en realidad existe una velocidad finita de propagación de la luz desde la bombilla hacia el ojo humano, en concreto, en una habitación estándar en la que nos encontramos a unos dos metros de la fuente de luz, la onda electromagnética que sensibiliza nuestro ojo emplea 6,7 nanosegundos en alcanzar la retina, es decir, aproximadamente 7 fracciones de 1 segundo divido en mil millones de partes, una fracción de tiempo tan pequeña que sentimos como “instantánea”. Lo mismo ocurre con la onda mecánica que observamos al tirar una piedra en un estanque de agua, la onda de presión causada por la piedra sobre el agua hacer oscilar el fluído desplazándose la perturbación por la superficie del líquido, este fenómeno ondulatorio es desde luego mucho más lento, pudiéndose medir su velocidad con instrumentos sencillos tales como un cronómentro y un metro. Sin embargo, cuando hablamos de la gravedad en el contexto de la teoría de Newton ¿cuál es la velocidad de propagación de un evento gravitatorio? ¿cuánto tiempo tarda en sentirse en los objetos afectados la perdida de masa en una estrella? si el sol modificase la intensidad gravitatoria de su campo, ¿cuánto tardaría esta perturbación gravitatoria en hacerse sentir en la tierra?, en la teoría de Newton estas preguntas no tienen respuesta, hay que referirse a la teoría de la relatividad general de Albert Einstein para encontrar un soporte teórico en el que fundamentar la propagación de la interacción gravitatoria en modo de ondas de gravedad, ondas de gravedad que por otra parte jamás han sido detectadas por ningún laboratorio en el mundo. No existe ningún dispositivo construido por el hombre que pueda tener el honor de haber medido estas ondas, aunque si existen varios laboratorios que han construido experimentos que supuestamente podrían llegar a hacerlo; actualmente se encuentran en funcionamiento los detectores de ondas gravitatorias LIGO, VIRGO, GEO 600, TAMA 300, Nautilus y Auriga, y aunque ha habido amagos de éxito, todavía no se ha logrado la observación directa de una onda gravitatoria y tampoco está claro que estos detectores consigan hacerlo. Sea como fuere el área es relevante desde el punto de vista de la física experimental y observacional, y es seguro un tema de interés para astrónomos amateur y profesionales.